股票优配牛津数学家追更当代素数研究新成果：张益唐等数学家都做了什么

牛津大学著名数学教授马库斯·杜·索托伊（Marcus du Sautoy）在其代表性的数学科普书《悠扬的素数：黎曼猜想趣史》发行20多年后专门“追更”了近年素数研究的进展和突破，在追更的文章中股票优配，他称张益唐为“中国的拉马努金”，并全面描述了全球其他顶级数学家在这一领域的相关成就。

本文经授权节选自刚刚上市的《悠扬的素数》增订版中文译本中增补的核心章节。

撰文 | 马库斯·杜·索托伊

翻译 | 谈天星

素数的美妙之处在于，它们不会过时。科学理论兴衰更迭，岁岁枯荣，数学却最是长青。面对预示着科学新理论的革命，证明的力量令数学无可撼动。古希腊人于两千多年前首次提出的素数发现至今依然成立。

《悠扬的素数》讲述了一场传奇的接力赛，数学家们奔跑不歇，将素数的接力棒传递给下一代。两千多年了，人类一直试图理解素数，二十载光阴不过是一扇小小的窗户。自 2003年本书首次出版以来，我们在奔赴终点线的路上走得更远了吗？黎曼假设离得证更近一步了吗？

我仍然认为，我们距离证明还差一个重要构想，但这并不是说，我们未曾取得关于素数的新发现。在过去的二十年里，一批年轻的以及不那么年轻的数学天才脱颖而出，向我们呈现了这些神秘事物的新面貌。

特别是，数学家们对于连续素数的间距问题提出了新见解。虽然欧几里得证明了素数永不枯竭，但正如高斯所见，越是通向数的宇宙深处，素数就越稀少。黎曼猜测，素数随机分布于所有的数中。随机性往往将事物集中在一起。你等一辆公交车，结果两辆一起出现。我们认为素数也是如此。

孪生素数猜想表明，虽然随着计数的增加，素数会变得稀少，但我们始终会遇见间距为 2的两个素数。例如 41和 43，或是 137和 139。这是最为相近的素数（2和 3 除外），这类数被称为孪生素数。截至 2023 年，已知最大的一对孪生素数是

但这一猜想宣称，还有无穷多对更大的孪生素数。

这一猜想至今未能得证。然而在 2013 年，求证之路已迈出关键的第一步。追根溯源，令人意外。

中国的拉马努金

张益唐第一次听说孪生素数猜想时，还在上海上学。他出生于 1955年，由外祖母，一个不识字的工厂工人抚养长大。他说：“那个年代很难找到上过大学的人，很难找到一本书。”他最终辍学了，靠着之前好不容易收集到的书自学。

“我为数学而生。”张益唐是这样说的，“有好些年都过得不太容易，但我没有放弃。我就是一直往前走，一直敦促自己。最重要的是好奇心，它让数学成了我生命里不可或缺的一部分。”

1985 年，张益唐前往美国，来到普渡大学读博。在攻读数学期间，为了养活自己，他到处打零工，还在当地的一家赛百味干过一段时间。最终，在国内大学同学的帮助下，他在新罕布什尔大学找到了一份教职。他始终惦念着在上海上学时了解到的素数问题，尤其是关于素数间距的挑战。但他的研究并无进展。直到 2012年，他已经很多年没有发表过任何原创内容了。他决定休息一段时间，于是动身前往科罗拉多，去观看朋友指挥的音乐会。“我是真的要度假，”他说，“我没有带任何书、本子、纸张，或是计算机。我都没有动过笔。”

演出当晚，前往会场之前，他去朋友家的花园里看鹿。不过，一旦被素数问题抓住，就很难忽视它。“有时候鹿很多，”他说，“但我一只也没瞧见，不过我有了思路。”他最终明白了该如何求证有无穷多对素数。他的素数间距没有孪生素数猜想说的那么小，但还是有界的。

要思考孪生素数问题，你可以在数轴上想象出一扇窗户，透过它，能看到三个连续的数。当这扇窗户在数的宇宙中向上移动时，由孪生素数猜想可知，我们可以无限次透过窗户看到两个素数。张益唐证出，如果窗口变大，能够看到 7000万个连续的数，那么，当你将窗户向上移动时，就会无限次看到两个素数。

这么大一扇窗户似乎不足为奇，但是请注意，高斯已经证出，随着计数增加，素数会愈发稀少。因此，要想看到两个连续的素数，窗口也须变大。当我们放眼无穷多个数，查看一个没有尽头的数集时，7000 万量级的窗口很快就会显得非常小。透过一扇给定尺寸的窗户，能无限次看到两个素数，这一事实令人惊叹，值得一证。

张益唐明白，如果他的证明是正确的，将会震惊素数界，这也意味着他的证明会经受严苛的审查。他曾试图发表兰道-西格尔零点猜想的证明，那是黎曼假设的弱化版。但那篇论文被驳回了，因为存在问题。现在有了新证明，他必须确保万无一失。他说：“我告诉自己，我需要特别仔细，要反复检查所有内容。这就花了很长时间。”

问题是，他在素数圈默默无闻，也没有任何成果。一篇论文的元数据——包括作者是谁，在哪里担任教授——给人留下的第一印象十分重要，就像我们喜欢依据封面评判一本书。自 2001年就再未发表过论文的张益唐只能让封面下的证明来说话。

2013年 4月，他向《数学年刊》提交了自己的论文，当初安德鲁·怀尔斯就是在这份刊物上发表了费马大定理的证明。一般来说，论文需要经过数年的审查，才能被接受发表。但张益唐的证明确实让人耳目一新。一个月内，论文就被接受了。他的成果令编辑们赞叹不已，新证明的消息传开了，甚至传到了《纽约时报》。张益唐开始受邀去各地演讲，去介绍他的伟大突破，包括去普林斯顿高等研究院。

正如彼得·萨纳克所评：“他不是那种之前就有很多成果的人。没人知道他。多亏了评审过程，在报社听到消息之前，研究院里就传开了。”

数学真美好。你可以是班里最安静的小孩、无名小辈、马德拉斯的职员、就职于末流美国大学的赛百味前职工，只要你的证明是正确的，数学就会为你说话。

张益唐的论文是从素数赛道冲向终点线的一大步。他的成果震惊了素数圈，为素数间距问题开启了新思路的闸门。紧随张益唐之后，又一篇论文的作者令人相当好奇。这是一位初出茅庐的新人。

新布尔巴基

数学家们在挑战黎曼假设或是费马大定理这样的问题时，总是各自为战。将某个标志性难题的证明冠以自己的名字一直被视为极大的荣誉。为证明费马大定理，安德鲁·怀尔斯在阁楼上奋斗了七年。为免共享荣誉，他没有让任何人知道自己在研究什么。鉴于怀尔斯多年来少有成果，许多人以为他已智尽能索。最终，他确实需要合作者理查德·泰勒（Richard Taylor）的帮助，才弥补了他在剑桥宣布证明后出现的漏洞。

不过，这种独自攻克难题的方法是否有效呢？数学家们有时也会寻求合作。“哈代与李特尔伍德”远比“哈代或李特尔伍德”战力更强。但你很少会见到大型数学科研团队展开合作。

来自剑桥的菲尔兹奖获得者蒂莫西·高尔斯并不认同孤军奋战能够取得最佳成果。维基百科等令人惊叹的协作成果让高尔斯深受启发，他认为，大规模合作必将更为有效地推进研究进程。数学界难道不能发挥好互联网新时代的价值，让沟通便利的数学家们在线携手共进吗？其他科学领域正是借此推出了极为成功的公众科学项目，让业余科学家协同研究。在牛津大学，“星系动物园”（Galaxy Zoo）项目邀请天文爱好者参与星系图片的分类，最终发现了一座全新的星系，我们称之为绿豌豆（green pea）。Foldit是华盛顿大学开发的一款公众科学计算机游戏，旨在探索蛋白质的折叠，这或许是理解痴呆等退行性疾病的关键。

高尔斯开始好奇，他能否借助自己的热门博客为数学做出同样的贡献。“博学项目”（Polymath Project）应运而生，旨在通过建立大型数学家团队，协同解决数学问题，任何人都可参与。人们不再秘密工作，等到完成证明，方才宣布，而是可以实时跟进，眼见证明初步形成，走过弯道，途经盲区，最终得证。该项目需要参与者做好冒险的准备，公开尝试或将无功而返的构思。正如高尔斯后来所写：“当参与者们靠近答案时，有起有伏，还有真实的紧张。谁能猜到，一个数学项目的日志读起来就像是惊险小说呢？”

高尔斯提出的第一项挑战是找到某个组合数学问题的初等证明，而组合数学正是他的研究领域。自 2009年 2月 1日发布挑战后，项目开始缓慢推进。7 小时后，来自加拿大不列颠哥伦比亚大学的一位数学家表示感兴趣。又过了 15分钟，来自美国亚利桑那州的一位高中教师加入对话。3分钟后，数学界的重量级人物、菲尔兹奖得主陶哲轩（Terence Tao）提出了一些想法。

从这一刻起，进程开始加速。接下来的 37天里，有 27人贡献了大约800条实质性评论，共计 17万字，构建出了一条新证明。高尔斯认为，这是独自研究五年才能取得的成果，如今仅在一个多月内就完成了。

不得不说，这并非真正的公众科学。参与这样高难度的数学研究，门槛极高。这 27位合作者大多是知名数学家。尽管如此，一个证明由众多专业数学家共同完成，即便不是闻所未闻，也是罕见的新鲜事。高尔斯证明了大规模在线协同研究的概念是可行的。

陶哲轩非常喜欢这种方式，在“博学项目”启动后的几年里，他提供了许多问题和思路。2004 年，陶哲轩将自己的名字写入了素数领域，他与英国数学家本·格林（Ben Green）宣布了一个证明，这一发现与算术级数中的素数有关。有时你会得到一串间隔相同的素数。例如，如果我从素数 5开始，一直加 6，就能得到五个素数：5, 11, 17, 23, 29。这些素数被称为算术级数中的素数。但遗憾的是，下一个数 35并非素数。这类素数数列可以有多长呢？能否无限长呢？

2004 年的纪录是连续出现 23 个素数，间隔为 44 546 738 095 860。陶哲轩与格林能够证明，一组等差素数数列可以是任意长度的。不仅如此，每种固定长度的等差数列可以有无穷多个。这一惊人的发现令陶哲轩在 2006 年荣获菲尔兹奖。这并非他唯一的突破。正如颁奖词所说，他在众多数学领域中都做出了重要贡献，不单单是数论。高尔斯评论说：“据说大卫·希尔伯特是最后一位通晓一切数学知识的人，但要想发现陶哲轩的知识空白并不容易。如果你真的找到了，那么你很可能会在一年后发现，这一空白已被填补。”

陶哲轩的许多论文都是与人合作完成的，他喜欢和其他数学家合作，因而被誉为当代保罗·埃尔德什。10 岁时，他在一场数学活动上遇见了埃尔德什。他还记得这位匈牙利人没有俯视他，而是将他视为数学同人。事实上，10岁的他很可能真的已经是数学家了。正因为陶哲轩热衷于合作，所以高尔斯的“博学项目”特别吸引他。

当张益唐宣布完他的素数间距证明后，陶哲轩建议“博学项目”接受挑战，将间距 7000万缩减至更小。谁知道呢，也许他们能将间距缩小至孪生素数猜想提出的 2。借助“博学项目”的博客与维基界面，经过几个月的密集工作，这支团队成功将 7000万缩小至 4680。然而，就在他们开始撰写成果时，另一条独立突破的消息在数学界传播开来。

带着礼物的智者

英国数学家詹姆斯·梅纳德（James Maynard）曾被几位同事告诫，要远离素数。正如哈代曾言：“每个笨蛋都能提出智者无法回答的素数问题。”然而，早在 2013年，梅纳德刚刚在牛津完成博士学位之际，他还没有学会害怕素数。他决定在第一段博士后期间研究素数间距问题。这一无畏的态度得到了回报。

梅纳德采用了与张益唐截然不同的方式，并在 2013年 11月宣布，他已成功将素数间距缩小到了 600。如果这一发现能够提前六个月，那么，因为在孪生素数猜想上取得突破而功成名就的便不会是张益唐，而是他了。尽管如此，梅纳德提出的方法以及他所取得的更小间距都令素数圈兴奋不已。“博学项目”团队特意停下了脚步，决定看看，如果结合梅纳德的方法，能否进一步缩小间距。果然，两相结合后，间距被缩小至 246，至今保持着纪录。

梅纳德尝到了素数的甜头，而这一成果只是一系列新见解中的第一个。不同于他所证明的相近素数，他还证出素数的间距也可以很大。高斯关于素数会变得稀少的发现表明，素数 p与下一个素数的平均间距应为 p的对数。例如，360169 是一个素数。360169 的对数约为 12.8，果然，下一个素数是 360181，间距为 12。孪生素数猜想断言，存在无穷多对素数的间距小至 2。例如，素数 360287加 2之后是它的孪生素数 360289。但间距有时也会远超平均值。素数 360653 需加 96 才能得到下一个素数 360749。据说间距有时会和 log p的平方一样大（同前文注释所述，此处log p指ln p，后面指的也都是自然对数。——编者注），但要求证这一点还有很远的路要走。

2014年，梅纳德证出，对于任意数 x，都存在小于 x的连续素数对，它们的间距大于下面这个可怕的公式的值：

与此同时（实际上仅相差一天），陶哲轩与包括本·格林在内的三位合作者宣布了以不同方法取得的同一成果。陶哲轩与梅纳德的成果如此同步，以至于陶哲轩曾经笑称，自己最近变得有些偏执。再度取得突破时，他的第一个念头是：我真希望梅纳德这回可别再抢占先机了。

梅纳德的公式中有如此多的对数，以至于让我想起了最爱的数学笑话：溺水的数论家会说什么？ Loglogloglog……这个证明印证了埃尔德什关于素数间距的直觉，我们在第七章提到过。这位匈牙利人曾经疑惑是否有人能证出这一结果，并为这一问题的解答提供了他的第二项大奖：1 万美元。尽管埃尔德什没能在生前见证这两条独立的证明，但他的一位长期合作者罗纳德·格雷厄姆（Ronald Graham）主动支付了这笔奖金。即便对数学家而言，这一公式也是相当可怕的，不过梅纳德的另一项素数贡献则通过了哈代的简洁性测试。

2016年，梅纳德证出，有无穷多个素数不包含数字7。这一数列从 2,3,5,11,13,19,23,29 开始，这么多的素数里都没有一个7。但是，随着计数增加，是否总能遇见不含 7的素数，这一点还不得而知。毕竟，随着计数增加，数的位数也在增加，避开 7就会越来越难。想象一个千万位的素数，你平均会遇见一百万个7，真的还能找到一个没有 7的素数吗？梅纳德的构想表明，这是可能的。数字7并无特别之处。他证出，存在无穷多个不包含任意数字的素数。凭借对素数的非凡领悟，这位牛津大学教授在 2022 年赢得了数学界最高荣誉菲尔兹奖。他的下一项突破会是什么呢？我们都拭目以待。

自本书首次出版，迄今已有二十年，这部史诗般的交响乐又添加了一个重要乐章。新一代的数学之星正为这些诡秘莫测的数提供见解。过去二十年中，素数领域的研究成果异常丰硕，部分是因为互联网让数学家们得以广泛合作，再者也是因为我们有幸拥有这样一群令人振奋的数学新秀。然而，黎曼假设这一重要问题仍然遥不可及。本书的最后一个和弦依然等待着被听见。

马库斯·杜·索托伊

2023年 1月于英国牛津

作者简介

马库斯·杜·索托伊（Marcus du Sautoy）

牛津大学数学教授、西蒙义讲座教授，英国工程暨物理研究委员会研究员，英国皇家学会研究员。他是BBC科普节目嘉宾、TED演讲嘉宾，《泰晤士报》和《卫报》专栏作家，曾获伦敦数学学会的贝维克奖、大英帝国官佐勋章。他的科普著作《神奇的数学：牛津教授给青少年的讲座》深受读者喜爱。